数学1+1
2025年1月10日 22:33来自:陈光泽
如何证明1+1=2?
(K佬求别删)
![]() | 陈光泽 写于 2025-1-11 0:291楼用数学知识与图像 |
![]() | 王礼逸 写于 2025-1-11 0:302楼@陈光泽 请问你是学奥数的吗 1+1=? 这个问题无人可答 |
![]() | 陈光泽 写于 2025-1-11 0:373楼边来砸场子行吗? |
![]() | 王礼逸 写于 2025-1-11 0:414楼@陈光泽 你才 |
![]() | pokeii 写于 2025-1-11 2:555楼从皮亚诺公理出发,2不过是1的后继数 |
![]() | XP333 写于 2025-1-11 2:576楼使用皮亚诺公理(Peano Axioms) 皮亚诺公理是定义自然数的一种方式。这些公理中包括了关于数字0、后继函数(即如何得到下一个数)、以及加法的基本性质。 0是自然数。 对于每个自然数n,都有一个唯一的后继数,记作n'。 不同的自然数有不同的后继数。 0不是任何自然数的后继数。 (归纳公理)如果P(0)为真,且对于每个自然数n,P(n)为真则P(n')也为真,那么P(n)对于每个自然数n都为真。 为了定义加法,我们可以添加以下公理: 对于任何自然数n,n + 0 = n。 对于任何自然数n和m,n + m' = (n + m)'。 现在,我们来证明 '1 + 1 = 2': 定义1和2: 1是0的后继数,即1 = 0'。 2是1的后继数,即2 = 1' = (0')'。 应用加法公理: 1 + 1 = 1'(因为1是0的后继数,所以1 + 1 = 0' + 1 = 1')。 而1'就是2(根据2的定义)。 |
![]() | XP333 写于 2025-1-11 2:587楼用皮亚诺公理能轻松证明1+1=2 |
![]() | 彩妈妈在我家 写于 2025-1-11 3:178楼皮亚诺公理:(这里0不算做自然数) (1)1是自然数; (2)对于任意的n,n的后继数是自然数; (3)不存在自然数的后继数为1; (4)若a,b的后继数相等,则a,b相等; (5)数学归纳法,即若对命题P(n)(n是自然数)有: (a)P(1); (b)若P(n),则P(n的后继数); 加法公理 1.定义a+1为a的后继数; 2.定义a+(b的后继数)=(a+b)的后继数; 定义2=1的后继数,那么1+1=1的后继数=2。 |
![]() | 陈光泽 写于 2025-1-11 8:539楼已经删除,撤销 | 关闭 |
![]() | 王礼逸 写于 2025-1-11 9:3810楼@陈光泽 “砖”业解答: 怎么证明1+1=2?(理论+公式) 一、怎么证明1+1=2? 1+1=2背后代表的是自然数公理化的历史。 自然数公理化,最早于1881年,由美国数学家皮尔斯提出,定义如下: 1是最小的数; x+y,当x=1时,是下一大于y的数,其它情况,是下一个大于x⁻+y的数; x×y,当x=1时,就是y,其它情况,为y+x⁻y; 其中,x⁻是上一个小于x的数。 因为,减法和除法分别是加法和乘法的逆运算(而且对自然数并不封闭),因此只需要公理化加法和乘法就可以了。 按照皮尔斯公理的定义,1+1是x=1的情况,它的值是下一个大于y=1的数,即,2。 之后,1888年德国数学家戴德金,给出了另外一套公理: 设非空N,给定N中的一个元素e∈N,已经N上的映射S:N→N,若满足: e不是S的值,即:e∉ranS; S是单射,即:∀n,m∈N,(S(n)=S(m))⇒(n=m); 归纳原理,即,对于任意子集A⊂N,如果e∈N并且若n∈A则S(n)∈A那么A就是N,即:∀A⊂N,(1∈N)∧((1∈N)⇒(S(n)∈A))⇒(A=N), 则称三元组(N,e,S)是一个自然数系统,N称为自然数集,e称为初始元,S称为后继。 戴德金,从更本质的层次,对自然数进行了公理化,可以通过这套公理,定义自然数的加法和乘法运算从而和皮尔斯公理等价。 但是,这个公理系统表示的有些复杂(当时数理逻辑语言才刚刚建立),于是,没有引人们注意。 注:这里⊂是包含于,真包含于记为⊊。 紧接着第二年,即,1889年,意大利数学家皮亚诺,独立于戴德金,发布了皮亚诺公理: 0是自然数; 任意一个自然数n的后继数n⁺任然是自然数; 0不是任何自然数的后继数; 两个自然数相等当且仅当它们的后继数相等; 对于自然数集的子集A,如果0∈N并且若n∈A则n⁺∈A那么A就是自然数集。 很明显,皮亚诺公理就是戴德金公理的简化版本,因此也称为戴德金-皮亚诺公理。 注:最早,皮亚诺用1作为最小的自然数,并且将等价关系作为公理的一部分,上面是后来的改进版本。 用皮亚诺公理,定义自然数加法如下: x+0=x x+y⁺=(x+y)⁺ 乘法如下: x0=0 xy⁺=x+xy 利用上面的加法定义,证明题主的问题: 1+1=1+0⁺=(1+0)⁺=1⁺=2 以上不管是那个公理系统都是抽象的,在不同的数学领域有不同的实例,以皮亚诺公理为例有: 在最古老的算术下: 0=0 x⁺=x+1 在集合论下: 0=Ø x⁺=x∪{x} 于是有: 1={0},2={0,1},3={0,1,2},... 丘奇数: 0=λ.sλ.zz x⁺=λ.xλ.sλ.zxs(sz) 于是有: 1=λ.sλ.zsz,2=λ.sλ.zs(sz),3=λ.sλ.zs(s(sz)) 在范畴论下: 设C是一个范畴,1是C的终止对象,于是定义范畴US₁(C)如下, US₁(C)的对象是一个三元组(X,0ᵪ,Sᵪ),其中X是C的对象,0ᵪ:1→X和Sᵪ:X→X都是C的态射; US₁(C)的态射f:(X,0ᵪ,Sᵪ)→(Y,0ᵧ,Sᵧ)就是C态射f:X→Y,并满足:f0ᵪ=0ᵧ并且fSᵪ=Sᵧf, 如果US₁(C)中可以找到一个初始对象(N,0,S),即,对于任意对象(X,0ᵪ,Sᵪ),有唯一的态射u:(N,0,S)→(X,0ᵪ,Sᵪ),则称C满足皮亚诺公理。US₁(C)中每个三元组对象都是一个皮亚诺公理系统。 可以证明这些实例都满足皮亚诺公理定义的条件,因此这些实例都是良定义的。 (由于本人数学水平有限,出错在所难免,欢迎题主和各位老师批评指正!) 二、1+1=2?哥德巴赫猜想 1、很多人不明白1+1=2为什么要被证明,这不是常识吗? 然而这个问题背后大有来头,看似简单却又奇妙无比。我来回答一下为什么1+1=2需要被证明,以及为什么这么难以被证明。 2、什么是“1+1=2” 所谓“1+1=2”,其实指的是哥德巴赫猜想,被称为世界近代三大数学难题之一。 1742年,哥德巴赫突发奇想:“任一大于2的整数都可写成三个质数之和。”然而哥德巴赫自己却无法证明,于是就给大名鼎鼎的欧拉写了一封信,提出了他的猜想,希望欧拉帮助他解决这个问题。 然而伟大的欧拉面对这个奇妙猜想,一直到去世,也没有办法给出合理的证明。有意思的是,至今几百年过去了,这道连小学生都能理解的题,却难倒了天下所有数学家。 3、一个激动人心的事实 目前最接近完美证明1+1=2的人我国的著名数学家陈景润先生,1966年,陈景润证明了哥德巴赫猜想中的“1+2”理论。这个结论被称为“陈氏定理”,将哥德巴赫猜想的证明大大地推进了一步。 注:在这之前,其他数学家曾从“1+n”逐渐证明到了“1+5”、“1+4”、“1+3”,这也叫筛选法。 而陈景润的“1+2”与“1+1”仅差一步之遥。只要证明了“1+1”理论,哥德巴赫猜想便可以划上一个完美的句号了。 然而,实际上我们距离这个问题的完美证明还有很远的距离。 4、为什么难以被证明 很多人不理解为什么哥德巴赫猜想这么伟大,其实原因就在于这个猜想几乎可以为所有大于2的整数定义。就相当于告诉世人,看,所有的整数都是由质数构成的。 而这,就好像在没有显微镜的时候,突然有人提出原子是构成所有物质的最小要素一样。 证明哥德巴赫猜想的难度,和要在没有显微镜的情况下证明原子是构成万物的难度一样。 5、写在最后 在这个问题下面看到很多不友善的回答,希望题主不用理会,追求真理是一件伟大的事。不过好心提醒一句题主,不要试图自己证明1+1=2,就算你宣称自己证明成功了,多半还是难免被冠以民科的称呼。 6、这个问题涉及到皮亚诺公理。 五个皮亚诺公理分别是: (1)0是自然数; (2)每一个自然数a,都有一个确定的后继数a',且a’也是自然数; (3)0不是任何自然数的后继数; (4)不同自然数有不同的后继数,如果a、b的后继数都是自然数c,那么a=b; (5)如果集合S是自然数集合N的子集,且满足两个条件:Ι、0属于S;ΙΙ、如果n属于S,那么n的后继数也属于S;那么S就是自然数集,这条公理也叫做归纳公理。 这个公理的第五条描述的比较恶心。鉴于你这个问题我们就讨论第二条就可以 第二条公理中,假设自然数1的后继数为x',也就是说1+1=x'。然后我们就定义了x'叫做2,也就是说“1+1=2”;当然,你硬要定义为0也行,但是你就需要另外找一个名称,来代替原来的0,不然就和公理(3)矛盾了。 所以1+1=2这是人为定义,无需证明,也无法推翻。如果1+1不等于2,毫不客气的说,当前数学界百分之99以上的定理将全部崩塌,数学就要重新开始。 总结:不过,1+1还有一个含义,是哥德巴赫猜想的究极体形态。这个猜想目前还没有人可以证明,目前最好的证明是陈景润的1+2,所以哥德巴赫猜想1+1目前还无解,我当然也提供不了任何解决的思路。 如您还有其他对特的见解,欢迎留言一起讨论! 来源:http://www.12tebing.com/news/714.html 分享至 新的风暴已经出现,你的妙评何时再现 AxolotlXY1145awa 证明数学问题通常遵循一套严谨的逻辑推理过程,这个过程包括提出假设、运用定义、公理、定理以及逻辑规则进行推理,最终得出结论。以下是一个关于证明 "1 + 1 = 2" 的示例,虽然这个等式在我们的日常经验中看似显而易见,但在数学中,特别是在形式化的数学系统中,它需要一个严格的证明。 **问题:证明 1 + 1 = 2** 在皮亚诺公理(Peano axioms)体系下,我们可以这样证明: **前提条件:** 1. 我们接受皮亚诺公理作为算术的基础。 2. 我们定义自然数集合 N,其中包含元素 {0, 1, 2, ...}。 3. 我们定义后继函数 S(n),表示 n 的后继,即 n + 1。 **证明过程:** 根据皮亚诺公理,我们有以下性质: 1. 0 是一个自然数。 2. 每一个确定的自然数 a 都有一个确定的后继 S(a)。 3. 不存在任何自然数 a,使得 S(a) = 0。 4. 不同的自然数有不同的后继,即如果 a ≠ b,则 S(a) ≠ S(b)。 5. (归纳公理) 设 P(n) 是关于自然数 n 的一个性质。如果 P(0) 成立,且每当 P(n) 成立时,P(S(n)) 也成立,那么 P(n) 对于所有自然数 n 都成立。 现在,我们来定义加法运算 +,使得对于任意自然数 a 和 b,有 a + b = c,其中 c 也是一个自然数。 我们首先定义加法的初始情况: 1. a + 0 = a (对于任意自然数 a) 然后定义加法的递推规则: 2. a + S(b) = S(a + b) (对于任意自然数 a 和 b) 现在,我们要证明 1 + 1 = 2。 根据我们的定义,1 是 0 的后继,即 1 = S(0),而 2 是 1 的后继,即 2 = S(1)。 因此,我们需要证明 S(0) + S(0) = S(S(0))。 根据加法的递推规则: S(0) + S(0) = S(S(0) + 0) 根据加法的初始情况,我们知道 S(0) + 0 = S(0),所以: S(S(0) + 0) = S(S(0)) 因此,我们证明了 1 + 1 = 2。 **结论:** 通过上述推理,我们证明了在皮亚诺公理体系下,1 + 1 = 2。 |
![]() | 陈光泽 写于 2025-2-2 5:3211楼呵呵呵 |